jueves, 15 de mayo de 2008
Balonmano
Pocos de los encuestados acertarían con la respuesta correcta: un balón.
Como casi siempre lo obvio nos pasa desapercibido, pero sin esa pequeña esfera, foco de nuestras miradas y desvelos, este deporte, como tantos otros, no existiría.
Pero, a pesar de ser el objeto sobre el que gravita toda nuestra actividad en la cancha, no le prestamos la atención que se merece. Vamos a mirarlo hoy detenidamente, pero desde una óptica un tanto extraña: vamos a mirar el balón con...¡ojos matemáticos!. Si, no te sorprendas, en ese balón que ha pasado tantas veces por tus manos, que tantas alegrías, y alguna que otra tristeza, te ha proporcionado, hay más sorpresas matemáticas de las que te puedes imaginar.
Cuando está bien inflado, parece una esfera perfecta, el cuerpo ideal de los filósofos griegos, la creación de los dioses. Pero, ¿realmente es una esfera perfecta?.
todos sus lados iguales, muy conocidos. Efectivamente, son pentágonos y hexágonos unidos entre sí. Si está un poco desinflado se puede mantener apoyado perfectamente en equilibrio sobre una de sus caras... Ha dejado de ser una esfera, ahora es... un poliedro. Un poliedro que tiene nombre propio, aunque un tanto raro: icosaedro truncado.
Pero volvamos a sus caras. Te has parado alguna vez a contar cuantos pentágonos y cuántos hexágonos tiene. Seguro que no. Y no es una tarea tan simple.
Antes de seguir leyendo, coge uno en tus manos y ánimo: cuéntalos... ¡Tiempo!. ¿Ya lo tienes?. ¿No te habrás equivocado?... Bueno, los pentágonos no ofrecen demasiada dificultad, efectivamente son los que habías dicho...12.
Vamos por los hexágonos..., esto se empieza a complicar. Si te faltan dedos para contar, recurre a la mirada matemática y piensa... Cada pentágono está rodeado por cincos hexágonos, luego debería haber doce por cinco... sesenta hexágonos. Pero cada uno de ellos está unido a tres pentágonos diferentes... ¡Ya está! Sesenta dividido entre tres, en total veinte hexágonos. En total 32 caras. ¡No ha sido tan complicado!
Ya puestos a contar, ¿cuántas costuras, o aristas como prefieras, tendrá? Te aconsejo que no intentes contarlas a lo salvaje. Ponte otra vez las gafas matemáticas...
Si hay 20 hexágonos y cada uno tiene 6 aristas...120 aristas, más 12 pentágonos por cinco aristas cada uno...60. En total 180 aristas. Pero cuidado, cada arista está compartida por dos polígonos, así que la hemos contado dos veces. Luego hay... ¡bingo!...90 costuras. ¿Quién lo diría?
Ya nos ha picado la curiosidad. ¿Cuántos vértices, ya sabes... dónde se juntan las aristas, tendrá?
Siempre puedes coger un rotulador y empezar a poner un número en cada vértice, pero seguro que la mente cuenta mejor. Veamos..., cada arista tiene dos vértices, así que hay 90 x 2, 180 vértices. Demasiados. ¡Ah, claro! Cada uno lo he contado varias veces. ¡Calma!... Si en cada vértice confluyen tres aristas, cada uno lo he contado tres veces, asi que hay, ... eso es, 180 dividido entre 3, 60 vértices.
Decididamente, no es para pararse a contarlos en mitad de un partido.
Por cierto, hablando de caras, aristas y vértices. Seguro que ahora te acuerdas de que había una fórmula que relacionaba su número. Si, eso de que caras + vértices = aristas + 2. ¿Será verdad, con nuestro balón?. Pues claro, acaso lo dudabas: 32 + 60 = 90 + 2.
Esta relación la demostró un matemático suizo, Leonard Euler, uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos. Prolífico en todos los sentidos, no sólo publico más de 500 libros y artículos, a pesar de quedarse tuerto a los 28 años y ciego 17 años antes de morir, además le dió tiempo a tener trece hijos, lo que con toda seguridad constituye un record en el mundo de las matemáticas.
Pero volvamos a nuestro balón, bueno, a nuestro icosaedro truncado.
Aunque a primera vista no lo parezca, este poliedro se obtiene al cortar los 12 vértices de un icosaedro - uno de los cinco poliedros regulares descubiertos ya por Platón hace más de 2.500 años, formado por 20 triángulos iguales -, de ahí su nombre. Los 12 pentágonos corresponden a los 12 cortes en los vértices del icosaedro y los 20 hexágonos son los restos de las caras del icosaedro.
¿Por qué se utiliza este poliedro para construir los balones?, ¿es el que más se aproxima a una esfera?
Su volumen es sólo el 86,74 % de la esfera correspondiente, que no es una mala aproximación. Al curvar sus caras cuando se infla este porcentaje aumenta ligeramente y sobrepasa el 95 %.
Pero hay otro poliedro de nombre casi impronunciable, el rombicosidodecaedro, para abreviarle llamaremos "rombico", que ocupa el 94,32 % de la esfera, ¡ y sin inflar!.
El "rombico" está formado por 12 pentágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos... 62 caras en total; casi el doble que nuestro sencillo icosaedro truncado. Tiene "sólo" 120 aristas y, según Euler, 60 vértices. Sospechamos por qué ninguna casa deportiva se ha lanzado a la aventura de comercializar un balón basado en este poliedro...tantas caras saldrían demasiado "caras".
Se pueden conseguir balones basándose en poliedros que se aproximan aún más a la esfera. Para ello hay que utilizar polígonos no regulares, es decir, con lados de distinta longitud. De hecho, algunos balones de fútbol se han construido de esta forma aunque también resultan más caros de fabricar.
Si quieres ver como serían basta que te fijes en algunas de las bóvedas que se utilizan para cubrir los radiotelescopios, esas cúpulas que hay en algunos observatorios astronómicos. Parecen semiesferas perfectas, sin embargo, aunque un poco exóticos, son poliedros.
En fin, a partir de ahora, cuando hagas una vaselina y veas volar el balón hacia la portería piensa que el viejo Platón, que identificaba al icosaedro con el agua, y el ciego Euler, que se entretuvo en contar tantas caras y vértices de tantos poliedros han hecho posible, en parte, que ese tanto suba al marcador.
Y si te parece ver entre el público a dos tipos raros, fantasmagóricos, vestidos con túnicas griegas aplaudiendo a rabiar tu vaselina, no te extrañes. Son Menecmo y Apolonio, los padres de esas curvas tan populares llamadas cónicas. Te aplauden, por que sin pretenderlo has dibujado en el aire una de las cónicas que les hicieron inmortales: una parábola.
Las mates en el tour de Francia
Una de las ascensiones más famosas del Tour de Francia es la del Col du Tourmalet (2.115 m.). Antes de la etapa los ciclistas estudian bien la gráfica de altimetría. En esa gráfica se representan las cotas de altitud alcanzadas en cada punto kilométrico y, para cada kilómetro, la pendiente media de subida.
TV0 , 17 = 2.115 – 847 = 1.268 m.
Pero si dos puertos tuvieran el mismo desnivel total, ¿tendrían la misma dureza?. No, porque sería más duro aquel que subiese ese desnivel en menos kilómetros; su pendiente media habría de ser mayor. Así que conviene conocer esa pendiente media, dividiendo o “repartiendo” todo el desnivel entre todos los kilómetros de la carretera (la llamaremos tasa de variación media). En este caso:
TVM 0 , 17 = 1.268 m. / 17 km. = 1.268 m. / 17.000 m. = 0,075 = 7,5 %
Es decir, por término medio la pendiente es del 7,5 %. Pero un promedio es un “reparto ideal” que puede no corresponderse con la realidad en ningún momento. Tú puedes tener un 6 de nota media sin haber sacado 6 en ningún examen; de la misma forma, aunque la pendiente media del Tourmalet sea del 7,5%, puede ser que en ningún tramo importante la pendiente sea exactamente esa.
La pendiente media nos informa así de la dureza global del puerto. Pero si un ciclista quiere saber dónde están las cuestas más fuertes, para dosificar su esfuerzo, tendrá que conocer la pendiente media en tramos más cortos. Por ejemplo, kilómetro a kilómetro.
Estudiemos la pendiente media entre el Km. 14 y el Km. 15:
TVM 14 , 15 = (1.951 m. – 1.869 m.) / 1.000 m. = 82 / 1.000 = 0,082 = 8,2%
Como se ve en la gráfica, hay kilómetros donde la pendiente media es del 2% y en otros llega al 10%. Acortar el intervalo (de los 23 km. a sólo 1 km.) permite precisar. Y aún más si calculamos la pendiente media en un tramo de 100 m. de carretera, o de 10 m., o de 1 m., o de… h à 0 . De hecho es conocida, por ejemplo, la pendiente que hay en la salida de cada curva; es decir, la pendiente en un tramo infinitesimal. Se le llama tasa de variación instantánea o derivada.
¿por qué se equivoca tanto el hombre del tiempo?
Las ecuaciones que rigen el tiempo en cualquier parte del mundo están perfectamente calculadas: son ecuaciones con variables tales como temperatura, presión atmosférica, humedad relativa del aire, velocidad del viento, etc. Todas estas variables se funden en un conjunto de ecuaciones mas o menos complejas y que con potentes ordenadores es factible resolver. Pero sigue habiendo un margen alto de errores en predicciones meteorológicas que vayan mas allá de unos pocos días. ¿Cual es la razón?.
La razón es que las ecuaciones que rigen el tiempo forman un sistema caótico. Un sistema de ecuaciones es caótico cuando una pequeña variación en las condiciones iniciales, produce un resultado totalmente diferente en la solución del problema. Para calcular el tiempo que hará mañana, necesitamos, evidentemente, saber como está el tiempo el día de hoy. La temperatura en este instante será un valor inicial que habrá que introducir en las ecuaciones para saber el tiempo que hará mañana.
Vamos a ver esto muy bien con un ejemplo muy sencillo:
Supongamos que tenemos el sistema de ecuaciones lineales en dos variables:
x=0
que se diferencian en bastante mas que la perturbación que hemos causado. Esto sucede así porque el sistema no es estable o está mal condicionado. Mirando la siguiente gráfica se adivina fácilmente por qué sucede esto:
Se han exagerado las proporciones para apreciar mejor los detalles. Las rectas mas finas corresponden al primer sistema de ecuaciones, y las mas gruesas al segundo. Señalados con un punto negro están las soluciones de ambos sistemas.
La diferencia tan grande entre las soluciones ocurre porque las pendientes de las gráficas son muy parecidas, por tanto, cualquier mínima variación en las dos rectas hace que varíe mucho el punto de intersección.
Cuando resolvemos las ecuaciones que rigen el tiempo, ocurre algo parecido, una mínima variación en los datos iniciales hace que varíe mucho el resultado. Se podría pensar que esto se solucionaría siendo mas precisos en la toma de los datos iniciales: por ejemplo, midiendo la temperatura con una gran precisión: el problema es que nunca medimos la temperatura con una precisión absoluta: usamos aparatos tales como termómetros, etc., y siempre tenemos un margen de error. Este margen de error puede ser suficiente para obtener un resultado diametralmente opuesto.
Esta peculiaridad de los sistemas caóticos se conoce como "el efecto mariposa", ya que se afirma que el aleteo de una mariposa en Hong-Kong (es decir, una perturbación muy pequeña) puede hacer que esta tarde llueva en Londres.
Un poco de humor
¿ Por que se suicidó el libro de mates?
- Porque tenía demasiados problemas
-Papá, Papá!, ¿Me haces el problema de matemáticas?
- No hijo, no estaría bien.
- Bueno, inténtalo de todas formas
El profesor de matemáticas hizo esta pregunta en clase: Si tomo un avión y voy al norte, luego al sur, después al este y luego al oeste, ¿ cuantos años tengo?
Usted tiene 44 años, replicó un alumno. Exactamente, dijo sorprendido el maestro. Pero , ¿cómo lo supiste?Muy fácil, contestó el muchacho. Tengo un hermano que tiene 22 años y está medio loco
Estadística
El 33% de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto el 67% restante ha sido causado por alguien que no había bebido. A la vista de ésto, está claro que la forma más segura de conducir es ir borracho y a toda pastilla.
La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que te pasas en la calle. Por tanto, cuanto más rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.
El 20 % de las personas muere a causa del tabaco. Por lo tanto, el 80 % de las personas muere por no fumar. Así que queda demostrado que no fumar es peor que fumar.
En Nueva York un hombre es atropellado cada diez minutos. El pobre tiene que estar hecho polvo.
juegos numericos
La cantidad de pasatiempos de este tipo es muy amplia. Son clasificados en dos grandes bloques: por un lado los de ordenación, en los que hay que colocar los números en determinados lugares según unas exigencias previas, y por otro lado los de cálculo, en los que se puede ir desde los más simples con sumas, hasta las operaciones más complicadas.
1.- Siete números en la Y griega
Coloca las cifras del 1 al 7 en el siguiente tablero, de manera que dos números consecutivos no estén juntos ni vertical, ni horizontal, ni diagonalmente.
2.- La rueda numérica
Sitúa los números del 1 al 9 en los cuadros del tablero, de forma que todas las líneas de tres números sumen 15.
3.- El triángulo que suma igual
Distribuye las cifras del 1 al 6 en el tablero, de forma que la suma de cada lado del triángulo sea la misma.
4.- El cuadro de números.
Coloca los ocho primeros números en el tablero, de forma que cada número que esté en un cuadrado, sea la diferencia de los que están en los círculos a sus lados.
5.- Ocho números en línea
Coloca las cifras del 1 al 8 en los cuadros de la siguiente línea, de forma que la diferencia, en un orden o en otro, entre dos números vecinos, no sea nunca menor que 4
6.- Pares e impares en una suma
Con los números del 1 al 9 realiza la suma que aparece en el tablero, colocando los números pares en los cuadrados y los impares en los círculos.
7.- La serpiente súmica
Sitúa sobre los círculos de la serpiente los números del 1 al 9, de manera que cada línea de tres números, sume 13.
8.- El producto con nueve números
Coloca las cifras del 1 al 9 sobre el tablero, de forma que el producto resultante sea correcto.
Aclaraciones.
En la mayoría de los juegos hay varias soluciones.
En el enunciado del segundo juego, se pide que los diámetros de la rueda sumen 15, para hacer el juego más interesante, la condición conviene expresarla diciendo que deben sumar igual, sin decír el valor.
En el tercer juego hay diversas soluciones (los tres números suman 9, 10, 11,12). Este juego puede complicarse modificando las exigencias, basta pedir que cuando se coloquen los seis números, cada lado del triángulo sume distinto, pero que en las sumas se obtengan tres números consecutivos.
El cuarto juego se ha presentado como diferencia para que no fuese casi todo sumas, pero se puede plantear también el colocar los nueve números de manera que los que queden en los cuadros negros, sean la suma de los que están en los círculos vecinos.
viernes, 2 de mayo de 2008
la estadistica en el poker
Aqui puedes ver una tabla con las probabilidades y maneras de conseguir unas buenas jugadas cuando juegas al Poker. Realmente, cuando se juega al Poker estos numeros no significan mucho pero puede ser útil para jugadores que juegan mas a la estadistica y ayudar a decidir decisión a la hora de jugar para conseguir una buena jugada o plantarse para abandonar la mano.
La proxima tabla trata sobre las posibilidades de conseguir una particular carta o de mejorarla al ver las primeras 5 cartas enseñadas. Esta tabla es especialmente para el juego Texas Holdem. Como podeis ver, cuando mejor jugada se quiere conseguir mas dificil es que te salga antes de pasar al Turn. Lo maximo que he visto ha sido un "4 del mismo tipo" que habia conseguido un jugador en las mesas de Poker Online, amagó las cartas hasta el river y allí realizó un apuesta muy fuerte... y ¿que pasó? esta claro, se llevó todo el bote porque el jugador contrario tenia un Full House y se creia que habia ganado él.
